Menguasai Matematika Kelas 8 Semester 2: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Matematika kelas 8 semester 2 merupakan lanjutan dari materi yang telah dipelajari di semester sebelumnya, dengan fokus pada konsep-konsep yang lebih mendalam dan aplikatif. Memahami materi ini dengan baik akan menjadi fondasi penting untuk jenjang pendidikan selanjutnya. Artikel ini akan menyajikan berbagai contoh soal yang sering muncul beserta pembahasan langkah demi langkah, membantu siswa kelas 8 untuk menguasai materi matematika semester 2 dengan lebih percaya diri.

1. Bangun Ruang Sisi Datar: Memahami Bentuk dan Luas Permukaan

Salah satu topik utama di semester 2 adalah bangun ruang sisi datar, yang meliputi prisma, limas, balok, dan kubus. Pemahaman mengenai jaring-jaring, luas permukaan, dan volume dari bangun-bangun ini sangat krusial.

Konsep Kunci:

• Prisma: Bangun ruang yang memiliki alas dan tutup berbentuk sama dan sejajar, serta sisi tegak berbentuk persegi atau persegi panjang.
• Limas: Bangun ruang yang memiliki alas berbentuk segi banyak dan sisi tegak berbentuk segitiga yang bertemu pada satu titik puncak.
• Jaring-jaring: Bentangan bangun ruang yang terdiri dari sisi-sisi datar yang jika dilipat akan membentuk bangun ruang tersebut.
• Luas Permukaan: Jumlah luas seluruh sisi yang membentuk bangun ruang.
• Volume: Ukuran ruang yang ditempati oleh bangun ruang.

Contoh Soal 1: Luas Permukaan Prisma Segitiga

Sebuah prisma segitiga memiliki alas segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-siku 6 cm dan 8 cm, serta panjang sisi miring 10 cm. Tinggi prisma adalah 15 cm. Hitunglah luas permukaan prisma tersebut!

Pembahasan:

Luas permukaan prisma adalah jumlah luas alas, luas tutup, dan luas sisi tegak. Karena alas dan tutup prisma memiliki bentuk yang sama, maka luas permukaan dapat dirumuskan sebagai:

Luas Permukaan Prisma = 2 × Luas Alas + Luas Sisi Tegak

1. Menghitung Luas Alas:
   Alas prisma adalah segitiga siku-siku. Luas segitiga adalah $frac12 times textalas times texttinggi$.
   Luas Alas = $frac12 times 6 , textcm times 8 , textcm = 24 , textcm^2$.
   Karena ada alas dan tutup, maka total luas alas dan tutup adalah $2 times 24 , textcm^2 = 48 , textcm^2$.

2. Menghitung Luas Sisi Tegak:
   Sisi tegak prisma segitiga terdiri dari tiga persegi panjang. Panjang dari setiap persegi panjang adalah tinggi prisma (15 cm), dan lebarnya adalah panjang sisi-sisi segitiga alas (6 cm, 8 cm, dan 10 cm).
   Luas Sisi Tegak 1 = $6 , textcm times 15 , textcm = 90 , textcm^2$.
   Luas Sisi Tegak 2 = $8 , textcm times 15 , textcm = 120 , textcm^2$.
   Luas Sisi Tegak 3 = $10 , textcm times 15 , textcm = 150 , textcm^2$.
   Luas Sisi Tegak Total = $90 , textcm^2 + 120 , textcm^2 + 150 , textcm^2 = 360 , textcm^2$.

3. Menghitung Luas Permukaan Prisma:
   Luas Permukaan Prisma = Luas Alas + Luas Tutup + Luas Sisi Tegak
   Luas Permukaan Prisma = $48 , textcm^2 + 360 , textcm^2 = 408 , textcm^2$.

Jadi, luas permukaan prisma segitiga tersebut adalah $408 , textcm^2$.

Contoh Soal 2: Volume Limas Persegi

Sebuah limas memiliki alas berbentuk persegi dengan panjang sisi 12 cm. Tinggi limas adalah 10 cm. Hitunglah volume limas tersebut!

Pembahasan:

Volume limas dirumuskan sebagai:

Volume Limas = $frac13 times textLuas Alas times textTinggi$

1. Menghitung Luas Alas:
   Alas limas adalah persegi dengan panjang sisi 12 cm.
   Luas Alas = sisi $times$ sisi = $12 , textcm times 12 , textcm = 144 , textcm^2$.

2. Menghitung Volume Limas:
   Volume Limas = $frac13 times 144 , textcm^2 times 10 , textcm$
   Volume Limas = $48 , textcm^2 times 10 , textcm = 480 , textcm^3$.

Jadi, volume limas tersebut adalah $480 , textcm^3$.

2. Lingkaran: Keliling, Luas, dan Hubungannya dengan Sudut

Lingkaran adalah salah satu bangun datar yang paling fundamental dan sering dijumpai dalam berbagai aplikasi. Pemahaman mengenai keliling, luas, serta hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling sangat penting.

Konsep Kunci:

• Jari-jari (r): Jarak dari titik pusat lingkaran ke setiap titik pada keliling lingkaran.
• Diameter (d): Garis lurus yang melewati titik pusat lingkaran dan menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran ($d = 2r$).
• Keliling Lingkaran (K): Jarak mengelilingi lingkaran. Rumus: $K = 2pi r$ atau $K = pi d$.
• Luas Lingkaran (L): Luas area yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Rumus: $L = pi r^2$.
• Sudut Pusat: Sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang bertemu di titik pusat lingkaran.
• Sudut Keliling: Sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang bertemu pada satu titik di keliling lingkaran.
• Hubungan Sudut: Sudut pusat yang menghadap busur yang sama besarnya dua kali sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

Contoh Soal 3: Luas Juring Lingkaran

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 14 cm. Hitunglah luas juring lingkaran yang dibentuk oleh sudut pusat $72^circ$!

Pembahasan:

Luas juring adalah bagian dari luas lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur lingkaran. Rumus luas juring adalah:

Luas Juring = $fractextSudut Pusat360^circ times textLuas Lingkaran$

1. Menghitung Luas Lingkaran:
   Diketahui jari-jari $r = 14 , textcm$. Kita gunakan $pi approx frac227$.
   Luas Lingkaran = $pi r^2 = frac227 times (14 , textcm)^2 = frac227 times 196 , textcm^2 = 22 times 28 , textcm^2 = 616 , textcm^2$.

2. Menghitung Luas Juring:
   Sudut Pusat = $72^circ$.
   Luas Juring = $frac72^circ360^circ times 616 , textcm^2$.
   Sederhanakan $frac72360 = frac15$.
   Luas Juring = $frac15 times 616 , textcm^2 = 123.2 , textcm^2$.

Jadi, luas juring lingkaran tersebut adalah $123.2 , textcm^2$.

Contoh Soal 4: Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Pada sebuah lingkaran, diketahui besar sudut pusat $angle AOB = 80^circ$, di mana O adalah titik pusat lingkaran dan A serta B adalah titik pada keliling lingkaran. Jika C adalah titik lain pada keliling lingkaran yang berada pada busur mayor AB, berapakah besar sudut keliling $angle ACB$?

Pembahasan:

Sudut pusat $angle AOB$ menghadap busur minor AB. Sudut keliling $angle ACB$ juga menghadap busur minor AB. Hubungannya adalah:

$angle AOB = 2 times angle ACB$

Maka, $angle ACB = frac12 times angle AOB$.

$angle ACB = frac12 times 80^circ = 40^circ$.

Namun, jika C berada pada busur mayor AB, maka $angle ACB$ menghadap busur minor AB. Pertanyaan ini secara spesifik menanyakan $angle ACB$ di mana C berada pada busur mayor. Ini berarti $angle ACB$ menghadap busur minor AB.

Jika yang dimaksud adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan sudut pusat 80 derajat, maka jawabannya adalah 40 derajat.

Namun, jika C berada di busur mayor AB, maka $angle ACB$ menghadap busur minor AB. Sudut pusat yang menghadap busur minor AB adalah $80^circ$. Maka $angle ACB = 80^circ / 2 = 40^circ$.

Perlu diperhatikan: Jika C berada di busur minor AB, maka $angle ACB$ akan menghadap busur mayor AB. Sudut pusat yang menghadap busur mayor AB adalah $360^circ – 80^circ = 280^circ$. Dalam kasus ini, $angle ACB = 280^circ / 2 = 140^circ$.

Berdasarkan formulasi soal, C berada pada busur mayor AB, yang berarti $angle ACB$ menghadap busur minor AB. Jadi, besar sudut keliling $angle ACB$ adalah $40^circ$.

3. Statistika: Penyajian Data dan Ukuran Pemusatan

Statistika membantu kita memahami kumpulan data. Di kelas 8, fokusnya adalah pada cara menyajikan data secara efektif dan menghitung ukuran pemusatan seperti mean, median, dan modus.

Konsep Kunci:

• Mean (Rata-rata): Jumlah seluruh nilai data dibagi dengan banyaknya data.
• Median: Nilai tengah dari data yang telah diurutkan.
• Modus: Nilai yang paling sering muncul dalam kumpulan data.
• Penyajian Data: Grafik batang, diagram lingkaran, tabel frekuensi.

Contoh Soal 5: Menghitung Mean, Median, dan Modus

Berikut adalah nilai ulangan matematika 10 siswa: 7, 8, 6, 9, 7, 5, 8, 7, 9, 6. Tentukan mean, median, dan modus dari data tersebut!

Pembahasan:

1. Menentukan Mean (Rata-rata):
   Jumlah seluruh nilai = $7+8+6+9+7+5+8+7+9+6 = 72$.
   Banyaknya data = 10.
   Mean = $fractextJumlah seluruh nilaitextBanyaknya data = frac7210 = 7.2$.

2. Menentukan Median:
   Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9.
   Karena banyaknya data genap (10), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah.
   Dua nilai tengah adalah data ke-5 dan data ke-6, yaitu 7 dan 7.
   Median = $frac7+72 = 7$.

3. Menentukan Modus:
   Hitung frekuensi kemunculan setiap nilai:
   Nilai 5: 1 kali
   Nilai 6: 2 kali
   Nilai 7: 3 kali
   Nilai 8: 2 kali
   Nilai 9: 2 kali
   Nilai yang paling sering muncul adalah 7 (sebanyak 3 kali).
   Modus = 7.

Jadi, mean dari data tersebut adalah 7.2, mediannya adalah 7, dan modusnya adalah 7.

4. Peluang: Memahami Kemungkinan Terjadinya Suatu Kejadian

Peluang merupakan cabang matematika yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Konsep dasar peluang ini penting untuk memahami probabilitas dalam berbagai situasi.

Konsep Kunci:

• Ruang Sampel (S): Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
• Kejadian (A): Himpunan bagian dari ruang sampel.
• Peluang Kejadian (P(A)): Perbandingan antara banyaknya kejadian A yang mungkin terjadi dengan jumlah seluruh hasil yang mungkin dalam ruang sampel.
  $P(A) = fractextBanyaknya kejadian AtextJumlah seluruh hasil dalam ruang sampel = fracn(A)n(S)$.

Contoh Soal 6: Peluang dalam Pelemparan Dadu

Sebuah dadu bersisi enam dilempar satu kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu bilangan prima!

Pembahasan:

1. Menentukan Ruang Sampel (S):
   Ketika sebuah dadu dilempar, hasil yang mungkin adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.
   Jadi, ruang sampel $S = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
   Banyaknya hasil dalam ruang sampel, $n(S) = 6$.

2. Menentukan Kejadian (A):
   Kejadian munculnya mata dadu bilangan prima. Bilangan prima antara 1 sampai 6 adalah 2, 3, dan 5.
   Jadi, kejadian $A = 2, 3, 5$.
   Banyaknya kejadian A, $n(A) = 3$.

3. Menghitung Peluang Kejadian A:
   $P(A) = fracn(A)n(S) = frac36 = frac12$.

Jadi, peluang munculnya mata dadu bilangan prima adalah $frac12$ atau 0.5.

5. Teorema Pythagoras: Menemukan Hubungan Sisi pada Segitiga Siku-siku

Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema paling terkenal dalam geometri, yang menghubungkan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku.

Konsep Kunci:

Dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring (sisi terpanjang, berhadapan dengan sudut siku-siku) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi lainnya (sisi siku-siku).

Jika sisi-sisi segitiga siku-siku adalah $a$ dan $b$ (sisi siku-siku) dan $c$ (sisi miring), maka berlaku:
$c^2 = a^2 + b^2$

Atau jika mencari sisi siku-siku:
$a^2 = c^2 – b^2$
$b^2 = c^2 – a^2$

Contoh Soal 7: Mencari Panjang Sisi Miring

Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi siku-siku 9 cm dan 12 cm. Berapakah panjang sisi miring segitiga tersebut?

Pembahasan:

Diketahui:
Sisi siku-siku $a = 9 , textcm$
Sisi siku-siku $b = 12 , textcm$
Sisi miring $c = ?$

Menggunakan Teorema Pythagoras:
$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = (9 , textcm)^2 + (12 , textcm)^2$
$c^2 = 81 , textcm^2 + 144 , textcm^2$
$c^2 = 225 , textcm^2$
$c = sqrt225 , textcm^2$
$c = 15 , textcm$

Jadi, panjang sisi miring segitiga tersebut adalah 15 cm.

Contoh Soal 8: Mencari Panjang Sisi Siku-siku

Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku adalah 26 cm dan salah satu sisi siku-sikunya adalah 10 cm. Berapakah panjang sisi siku-siku yang lain?

Pembahasan:

Diketahui:
Sisi miring $c = 26 , textcm$
Salah satu sisi siku-siku $a = 10 , textcm$
Sisi siku-siku lainnya $b = ?$

Menggunakan Teorema Pythagoras:
$a^2 = c^2 – b^2$ (atau bisa juga $b^2 = c^2 – a^2$)
$b^2 = c^2 – a^2$
$b^2 = (26 , textcm)^2 – (10 , textcm)^2$
$b^2 = 676 , textcm^2 – 100 , textcm^2$
$b^2 = 576 , textcm^2$
$b = sqrt576 , textcm^2$
$b = 24 , textcm$

Jadi, panjang sisi siku-siku yang lain adalah 24 cm.

Penutup

Mempelajari matematika kelas 8 semester 2 membutuhkan pemahaman konsep yang kuat dan latihan soal yang rutin. Dengan memahami contoh-contoh soal dan pembahasannya di atas, diharapkan siswa dapat meningkatkan kepercayaan diri dan meraih hasil belajar yang optimal. Ingatlah bahwa konsistensi dalam belajar dan keberanian untuk bertanya adalah kunci utama dalam menguasai materi matematika. Selamat belajar!