Akar kuadrat. Kata ini seringkali menimbulkan sedikit rasa ngeri bagi sebagian siswa SMP. Namun, jangan khawatir! Memahami konsep akar dan bagaimana menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengannya bukanlah hal yang mustahil. Justru, dengan pemahaman yang kuat, akar bisa menjadi alat yang ampuh dalam menyelesaikan berbagai masalah matematika.
Pada jenjang SMP kelas 3, materi akar kuadrat menjadi salah satu topik penting yang mempersiapkan siswa untuk jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Artikel ini akan membawa Anda menyelami dunia akar, mulai dari konsep dasarnya, berbagai jenis soal yang sering muncul, hingga strategi jitu untuk menyelesaikannya. Bersiaplah untuk mengubah pandangan Anda tentang akar dari yang menakutkan menjadi sesuatu yang menarik dan mudah dipahami!
Apa Itu Akar Kuadrat? Akar dari Segala Akar!
Sebelum kita melompat ke soal-soal rumit, mari kita segarkan kembali ingatan kita tentang apa itu akar kuadrat. Sederhananya, akar kuadrat dari sebuah bilangan adalah bilangan lain yang jika dikuadratkan (dikalikan dengan dirinya sendiri) akan menghasilkan bilangan asli tersebut.
Misalnya, akar kuadrat dari 9 adalah 3. Mengapa? Karena 3 dikalikan 3 (atau 3²) hasilnya adalah 9. Kita bisa menuliskannya sebagai $sqrt9 = 3$.
Namun, ada sedikit jebakan di sini. Pernahkah Anda memikirkan bilangan apa lagi yang jika dikuadratkan menghasilkan 9? Jawabannya adalah -3! Karena $(-3) times (-3) = 9$.
Dalam matematika, ketika kita berbicara tentang "akar kuadrat" tanpa penjelasan lebih lanjut, kita biasanya merujuk pada akar kuadrat utama (principal square root), yaitu akar yang bernilai positif. Jadi, $sqrt9$ selalu kita artikan sebagai 3, bukan -3. Jika kita ingin merujuk pada kedua kemungkinan nilai tersebut, kita akan menuliskan $pm sqrt9 = pm 3$.
Bilangan Kuadrat Sempurna: Kunci Awal untuk Mempermudah
Untuk mempermudah pemahaman dan penyelesaian soal-soal akar, sangat penting untuk mengenal bilangan-bilangan kuadrat sempurna. Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan yang merupakan hasil kuadrat dari bilangan bulat.
Beberapa bilangan kuadrat sempurna yang perlu Anda ingat antara lain:
- $1^2 = 1$
- $2^2 = 4$
- $3^2 = 9$
- $4^2 = 16$
- $5^2 = 25$
- $6^2 = 36$
- $7^2 = 49$
- $8^2 = 64$
- $9^2 = 81$
- $10^2 = 100$
- $11^2 = 121$
- $12^2 = 144$
- dan seterusnya.
Mengenal bilangan-bilangan ini akan sangat membantu Anda dalam menghitung akar kuadrat dari bilangan-bilangan yang lebih besar dengan lebih cepat. Misalnya, jika Anda diminta mencari $sqrt144$, Anda bisa langsung teringat bahwa $12^2 = 144$, sehingga $sqrt144 = 12$.
Jenis-Jenis Soal Akar yang Sering Muncul di SMP Kelas 3
Dalam materi akar kuadrat di SMP kelas 3, Anda akan menemui berbagai jenis soal. Mari kita bedah satu per satu:
1. Menghitung Akar Kuadrat dari Bilangan Bulat:
Ini adalah tipe soal yang paling mendasar. Anda akan diminta untuk mencari hasil dari $sqrta$, di mana $a$ adalah sebuah bilangan.
-
Contoh Soal:
- Hitunglah $sqrt49$!
- Tentukan nilai dari $sqrt196$!
-
Strategi Penyelesaian:
- Untuk bilangan yang merupakan kuadrat sempurna kecil, Anda bisa langsung mengingat hasilnya.
- Untuk bilangan yang lebih besar, coba pikirkan bilangan bulat berapa yang jika dikuadratkan mendekati bilangan tersebut. Perhatikan angka terakhir dari bilangan tersebut untuk menebak angka terakhir dari akar kuadratnya. Misalnya, $sqrt196$. Angka terakhirnya adalah 6. Bilangan kuadrat yang berakhiran 6 adalah 4² (16) dan 6² (36). Kemudian, coba kuadratkan bilangan di sekitar $sqrt100=10$ dan $sqrt400=20$. Kita tahu $10^2 = 100$ dan $20^2 = 400$. Jadi, akar kuadrat dari 196 pasti di antara 10 dan 20. Dengan mencoba 14, kita dapatkan $14^2 = 196$. Maka, $sqrt196 = 14$.
2. Menyederhanakan Bentuk Akar:
Terkadang, Anda akan diberikan soal akar yang tidak bisa dihitung langsung menjadi bilangan bulat. Dalam kasus ini, tujuannya adalah menyederhanakan bentuk akar tersebut.
-
Konsep Kunci: Kita perlu mencari faktor kuadrat sempurna dari bilangan di dalam akar. Sifat yang digunakan adalah $sqrta times b = sqrta times sqrtb$.
-
Contoh Soal:
- Sederhanakan bentuk akar $sqrt72$!
- Tentukan bentuk paling sederhana dari $sqrt50$!
-
Strategi Penyelesaian:
-
Cari faktor terbesar dari bilangan di dalam akar yang merupakan bilangan kuadrat sempurna.
-
Pisahkan akar tersebut menjadi perkalian dua akar.
-
Hitung akar dari faktor kuadrat sempurna tersebut.
-
Contoh Penyelesaian $sqrt72$:
- Faktor-faktor dari 72 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
- Bilangan kuadrat sempurna yang merupakan faktor dari 72 adalah 4 dan 36. Faktor kuadrat sempurna terbesar adalah 36.
- Jadi, $sqrt72 = sqrt36 times 2$.
- Menggunakan sifat $sqrta times b = sqrta times sqrtb$, kita dapatkan $sqrt36 times 2 = sqrt36 times sqrt2$.
- Karena $sqrt36 = 6$, maka hasilnya adalah $6sqrt2$.
-
Contoh Penyelesaian $sqrt50$:
- Faktor kuadrat sempurna terbesar dari 50 adalah 25.
- $sqrt50 = sqrt25 times 2 = sqrt25 times sqrt2 = 5sqrt2$.
-
3. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar:
Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar hanya dapat dilakukan jika akar-akarnya sejenis. Akar sejenis berarti memiliki bilangan yang sama di dalam tanda akar.
-
Konsep Kunci: $asqrtc + bsqrtc = (a+b)sqrtc$ dan $asqrtc – bsqrtc = (a-b)sqrtc$.
-
Contoh Soal:
- Hitunglah $5sqrt3 + 2sqrt3$!
- Tentukan hasil dari $8sqrt5 – 3sqrt5$!
- Sederhanakan $2sqrt12 + sqrt27$!
-
Strategi Penyelesaian:
-
Jika akar-akarnya sudah sejenis, langsung jumlahkan atau kurangkan koefisiennya.
-
Jika akar-akarnya belum sejenis, sederhanakan terlebih dahulu masing-masing akar hingga menjadi sejenis, baru kemudian dijumlahkan atau dikurangkan.
-
Contoh Penyelesaian $2sqrt12 + sqrt27$:
- Sederhanakan $sqrt12$: $sqrt12 = sqrt4 times 3 = sqrt4 times sqrt3 = 2sqrt3$.
- Sederhanakan $sqrt27$: $sqrt27 = sqrt9 times 3 = sqrt9 times sqrt3 = 3sqrt3$.
- Sekarang kedua akar sudah sejenis ($2sqrt3$ dan $3sqrt3$).
- Jumlahkan: $2sqrt3 + 3sqrt3 = (2+3)sqrt3 = 5sqrt3$.
-
4. Operasi Perkalian Bentuk Akar:
Perkalian bentuk akar lebih fleksibel, Anda bisa mengalikan bilangan di dalam akar dengan bilangan di dalam akar, dan koefisien dengan koefisien.
-
Konsep Kunci: $(asqrtb) times (csqrtd) = (a times c) sqrtb times d$.
-
Contoh Soal:
- Hitunglah $sqrt5 times sqrt7$!
- Tentukan hasil dari $3sqrt2 times 4sqrt5$!
- Sederhanakan $(2sqrt3)^2$!
-
Strategi Penyelesaian:
-
Kalikan koefisien dengan koefisien, dan bagian dalam akar dengan bagian dalam akar.
-
Sederhanakan hasilnya jika memungkinkan.
-
Contoh Penyelesaian $3sqrt2 times 4sqrt5$:
- Kalikan koefisien: $3 times 4 = 12$.
- Kalikan bagian dalam akar: $sqrt2 times sqrt5 = sqrt2 times 5 = sqrt10$.
- Gabungkan: $12sqrt10$.
-
Contoh Penyelesaian $(2sqrt3)^2$:
- Ini berarti $(2sqrt3) times (2sqrt3)$.
- Kalikan koefisien: $2 times 2 = 4$.
- Kalikan bagian dalam akar: $sqrt3 times sqrt3 = sqrt3 times 3 = sqrt9 = 3$.
- Gabungkan: $4 times 3 = 12$.
- Atau bisa juga langsung menggunakan sifat $(asqrtb)^2 = a^2 times (sqrtb)^2 = a^2 times b$. Jadi, $(2sqrt3)^2 = 2^2 times 3 = 4 times 3 = 12$.
-
5. Operasi Pembagian Bentuk Akar:
Pembagian bentuk akar juga memiliki aturan khusus, dan seringkali melibatkan proses merasionalkan penyebut.
-
Konsep Kunci: $fracasqrtbcsqrtd = fracac sqrtfracbd$.
-
Merasionalkan Penyebut: Jika penyebutnya berbentuk $sqrtb$ atau $a+sqrtb$, kita perlu mengalikannya dengan bentuk sekawan agar penyebutnya menjadi bilangan rasional.
-
Contoh Soal:
- Hitunglah $fracsqrt50sqrt2$!
- Sederhanakan $frac6sqrt3$!
- Hitunglah $frac102+sqrt3$!
-
Strategi Penyelesaian:
-
Untuk soal $fracsqrt50sqrt2$:
- $fracsqrt50sqrt2 = sqrtfrac502 = sqrt25 = 5$.
-
Untuk soal $frac6sqrt3$ (merasionalkan penyebut):
- Penyebutnya adalah $sqrt3$. Bentuk sekawannya adalah $sqrt3$.
- Kalikan pembilang dan penyebut dengan $sqrt3$:
$frac6sqrt3 times fracsqrt3sqrt3 = frac6sqrt3(sqrt3)^2 = frac6sqrt33 = 2sqrt3$.
-
Untuk soal $frac102+sqrt3$ (merasionalkan penyebut bentuk binomial):
- Penyebutnya adalah $2+sqrt3$. Bentuk sekawannya adalah $2-sqrt3$ (ubah tanda di tengah).
- Kalikan pembilang dan penyebut dengan $2-sqrt3$:
$frac102+sqrt3 times frac2-sqrt32-sqrt3 = frac10(2-sqrt3)(2+sqrt3)(2-sqrt3)$ - Hitung pembilang: $10(2-sqrt3) = 20 – 10sqrt3$.
- Hitung penyebut menggunakan sifat $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$:
$(2+sqrt3)(2-sqrt3) = 2^2 – (sqrt3)^2 = 4 – 3 = 1$. - Gabungkan: $frac20 – 10sqrt31 = 20 – 10sqrt3$.
-
6. Soal Cerita Berkaitan dengan Akar:
Akar kuadrat seringkali muncul dalam konteks soal cerita, terutama yang berkaitan dengan luas, keliling, atau konsep fisika sederhana.
-
Contoh Soal:
- Sebuah taman berbentuk persegi memiliki luas 144 meter persegi. Berapakah panjang sisi taman tersebut?
- Sebuah tangga sepanjang 13 meter bersandar pada tembok. Jarak ujung bawah tangga dengan tembok adalah 5 meter. Berapakah tinggi tembok yang dicapai ujung atas tangga?
-
Strategi Penyelesaian:
-
Identifikasi informasi yang diberikan dan apa yang ditanyakan.
-
Ubah soal cerita menjadi model matematika, seringkali menggunakan teorema Pythagoras atau rumus luas/keliling.
-
Selesaikan persamaan matematika yang terbentuk, yang seringkali melibatkan akar kuadrat.
-
Contoh Penyelesaian Soal Taman:
- Luas persegi = sisi × sisi = $s^2$.
- Diketahui luas = 144 m². Jadi, $s^2 = 144$.
- Untuk mencari panjang sisi, kita perlu menghitung akar kuadrat dari luas: $s = sqrt144$.
- $s = 12$ meter. Jadi, panjang sisi taman adalah 12 meter.
-
Contoh Penyelesaian Soal Tangga:
- Masalah ini dapat dimodelkan menggunakan Teorema Pythagoras, di mana sisi miring adalah panjang tangga, salah satu sisi siku-siku adalah jarak ujung bawah tangga ke tembok, dan sisi siku-siku lainnya adalah tinggi tembok yang dicapai.
- Misalkan tinggi tembok adalah $t$.
- Menurut Teorema Pythagoras: $5^2 + t^2 = 13^2$.
- $25 + t^2 = 169$.
- $t^2 = 169 – 25$.
- $t^2 = 144$.
- $t = sqrt144$.
- $t = 12$ meter. Jadi, tinggi tembok yang dicapai ujung atas tangga adalah 12 meter.
-
Tips Jitu Menguasai Soal Akar:
- Hafalkan Bilangan Kuadrat Sempurna: Ini adalah investasi waktu yang sangat berharga. Semakin banyak Anda hafal, semakin cepat Anda menyelesaikan soal.
- Latihan Teratur: Kunci utama dalam matematika adalah latihan. Kerjakan berbagai macam soal, mulai dari yang mudah hingga yang menantang.
- Pahami Konsep di Balik Rumus: Jangan hanya menghafal rumus. Pahami mengapa rumus itu bekerja, seperti sifat perkalian dan pembagian akar, serta konsep merasionalkan penyebut.
- Sederhanakan Terlebih Dahulu: Sebelum melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, atau perkalian, usahakan untuk menyederhanakan bentuk akar jika memungkinkan. Ini akan mempermudah perhitungan.
- Perhatikan Tanda: Hati-hati dengan tanda positif dan negatif, terutama saat merasionalkan penyebut bentuk binomial.
- Gunakan Sketsa untuk Soal Cerita: Untuk soal cerita, menggambar sketsa sederhana dapat membantu memvisualisasikan masalah dan mengidentifikasi teorema atau rumus yang tepat.
- Jangan Takut Bertanya: Jika ada konsep atau soal yang sulit dipahami, jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman.
Penutup:
Materi akar kuadrat di SMP kelas 3 memang memerlukan ketelitian dan pemahaman konsep. Dengan menguasai berbagai jenis soal dan strategi penyelesaian yang telah dibahas, Anda akan semakin percaya diri dalam menghadapi ujian maupun aplikasi matematika di kehidupan sehari-hari. Ingat, setiap langkah kecil dalam memahami akar akan membawa Anda lebih dekat untuk menguasai dunia matematika. Selamat berlatih!
Tinggalkan Balasan