Matematika seringkali dianggap sebagai momok bagi sebagian siswa, terutama di jenjang SMA. Namun, bagi siswa kelas XI IPS, pemahaman yang kuat terhadap materi matematika semester 2 bukan hanya penting untuk kelancaran studi, tetapi juga sebagai bekal dalam memahami berbagai fenomena ekonomi dan sosial yang kerap menggunakan pendekatan kuantitatif. Semester 2 untuk kelas XI IPS biasanya berfokus pada topik-topik seperti Statistika, Peluang, serta Aplikasi Turunan.
Artikel ini akan menyajikan contoh soal yang relevan dengan kurikulum matematika kelas XI IPS semester 2, dilengkapi dengan pembahasan mendalam yang diharapkan dapat membantu siswa memahami konsep-konsep kunci dan strategi penyelesaiannya.
1. Statistika: Membaca Data dengan Cermat
Statistika adalah cabang matematika yang mempelajari tentang pengumpulan, penyajian, analisis, dan interpretasi data. Di kelas XI IPS, fokus biasanya diberikan pada ukuran pemusatan data (mean, median, modus), ukuran letak (kuartil, desil, persentil), serta ukuran penyebaran data (jangkauan, kuartil, simpangan baku).
Contoh Soal 1 (Ukuran Pemusatan Data):
Berikut adalah data nilai ulangan matematika 10 siswa kelas XI IPS: 7, 8, 6, 9, 7, 8, 5, 9, 7, 8.
Tentukan:
a. Mean (Rata-rata)
b. Median (Nilai Tengah)
c. Modus (Nilai yang Paling Sering Muncul)
Pembahasan Soal 1:
Sebelum menghitung, langkah pertama yang krusial adalah mengurutkan data dari yang terkecil hingga terbesar.
Data terurut: 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9
a. Mean (Rata-rata)
Mean dihitung dengan menjumlahkan seluruh nilai data kemudian dibagi dengan banyaknya data.
Rumus: $textMean = fracsum x_in$
Dimana $sum x_i$ adalah jumlah seluruh nilai data, dan $n$ adalah banyaknya data.
$sum x_i = 5 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 = 77$
$n = 10$
$textMean = frac7710 = 7.7$
Jadi, rata-rata nilai ulangan matematika siswa tersebut adalah 7.7.
b. Median (Nilai Tengah)
Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Jika jumlah data ganjil, median adalah nilai yang berada tepat di tengah. Jika jumlah data genap (seperti pada soal ini), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah.
Data terurut: 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9
Karena $n=10$ (genap), maka dua nilai tengah adalah data ke-5 dan data ke-6.
Nilai data ke-5 = 7
Nilai data ke-6 = 8
$textMedian = fractextNilai data ke-5 + textNilai data ke-62 = frac7 + 82 = frac152 = 7.5$
Jadi, median nilai ulangan matematika siswa tersebut adalah 7.5.
c. Modus (Nilai yang Paling Sering Muncul)
Modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam kumpulan data.
Data terurut: 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9
Dari data tersebut, nilai 7 muncul sebanyak 3 kali, nilai 8 muncul sebanyak 3 kali, sedangkan nilai 5, 6, dan 9 masing-masing muncul sekali.
Karena nilai 7 dan 8 sama-sama muncul paling sering (3 kali), maka data ini memiliki dua modus (bimodal).
Jadi, modus dari data tersebut adalah 7 dan 8.
Contoh Soal 2 (Ukuran Letak Data – Kuartil):
Diberikan data hasil survei pendapatan per bulan (dalam jutaan rupiah) dari 15 pedagang: 3, 5, 4, 6, 5, 7, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 5, 6.
Tentukan:
a. Kuartil Pertama ($Q_1$)
b. Kuartil Ketiga ($Q_3$)
Pembahasan Soal 2:
Langkah pertama adalah mengurutkan data:
3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9
Jumlah data ($n$) = 15.
a. Kuartil Pertama ($Q_1$)
Kuartil pertama membagi data menjadi empat bagian yang sama, di mana $Q_1$ adalah nilai yang membatasi 25% data terbawah.
Posisi $Q_1 = frac14(n+1)$
Posisi $Q_1 = frac14(15+1) = frac14(16) = 4$
Artinya, $Q_1$ adalah data ke-4 dari data yang telah diurutkan.
Data terurut: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9
$Q_1 = 5$
b. Kuartil Ketiga ($Q_3$)
Kuartil ketiga membatasi 75% data terbawah (atau 25% data teratas).
Posisi $Q_3 = frac34(n+1)$
Posisi $Q_3 = frac34(15+1) = frac34(16) = 3 times 4 = 12$
Artinya, $Q_3$ adalah data ke-12 dari data yang telah diurutkan.
Data terurut: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9
$Q_3 = 7$
Jadi, kuartil pertama pendapatan adalah 5 juta rupiah, dan kuartil ketiga adalah 7 juta rupiah.
2. Peluang: Menghitung Kemungkinan Kejadian
Peluang adalah ukuran seberapa mungkin suatu kejadian akan terjadi. Materi peluang di kelas XI IPS seringkali mencakup konsep dasar peluang, kejadian saling lepas, kejadian saling bebas, dan peluang bersyarat.
Contoh Soal 3 (Peluang Kejadian Sederhana):
Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil satu bola secara acak, berapakah peluang terambilnya bola biru?
Pembahasan Soal 3:
Peluang suatu kejadian dihitung dengan rumus:
$P(A) = fractextJumlah kejadian yang diinginkantextJumlah total kemungkinan kejadian$
Diketahui:
Jumlah bola merah = 5
Jumlah bola biru = 3
Jumlah total bola = 5 + 3 = 8
Kejadian yang diinginkan: terambilnya bola biru.
Jumlah kejadian yang diinginkan (bola biru) = 3.
Jumlah total kemungkinan kejadian (seluruh bola) = 8.
$P(textbola biru) = frac38$
Jadi, peluang terambilnya bola biru adalah $frac38$.
Contoh Soal 4 (Peluang Kejadian Saling Lepas):
Dari satu set kartu bridge (52 kartu), diambil satu kartu secara acak. Berapakah peluang terambilnya kartu As atau kartu King?
Pembahasan Soal 4:
Dua kejadian dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan.
Misalkan kejadian A = terambilnya kartu As.
Misalkan kejadian B = terambilnya kartu King.
Dalam satu set kartu bridge (52 kartu):
Jumlah kartu As = 4 (As Hati, As Keriting, As Wajik, As Sekop)
Jumlah kartu King = 4 (King Hati, King Keriting, King Wajik, King Sekop)
Kedua kejadian ini saling lepas karena sebuah kartu tidak mungkin sekaligus As dan King.
Rumus peluang kejadian saling lepas: $P(A cup B) = P(A) + P(B)$
$P(A) = fractextJumlah kartu AstextJumlah total kartu = frac452$
$P(B) = fractextJumlah kartu KingtextJumlah total kartu = frac452$
$P(textAs atau King) = P(textAs) + P(textKing) = frac452 + frac452 = frac852$
Disederhanakan: $frac852 = frac213$
Jadi, peluang terambilnya kartu As atau kartu King adalah $frac213$.
Contoh Soal 5 (Peluang Kejadian Saling Bebas):
Dua buah dadu dilempar bersamaan. Berapakah peluang munculnya angka 5 pada dadu pertama DAN angka genap pada dadu kedua?
Pembahasan Soal 5:
Dua kejadian dikatakan saling bebas jika kejadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian yang lain. Dalam kasus ini, hasil lemparan dadu pertama tidak mempengaruhi hasil lemparan dadu kedua.
Misalkan kejadian A = muncul angka 5 pada dadu pertama.
Misalkan kejadian B = muncul angka genap pada dadu kedua.
Pada satu dadu (6 sisi):
Jumlah kemungkinan hasil = 6 (yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6)
Untuk kejadian A:
Jumlah hasil yang diinginkan (angka 5) = 1.
$P(A) = frac16$
Untuk kejadian B:
Angka genap pada dadu adalah 2, 4, 6.
Jumlah hasil yang diinginkan (angka genap) = 3.
$P(B) = frac36 = frac12$
Rumus peluang kejadian saling bebas: $P(A cap B) = P(A) times P(B)$
$P(textAngka 5 pada dadu 1 DAN angka genap pada dadu 2) = P(A) times P(B) = frac16 times frac12 = frac112$
Jadi, peluang munculnya angka 5 pada dadu pertama dan angka genap pada dadu kedua adalah $frac112$.
3. Aplikasi Turunan: Memahami Perubahan dan Titik Ekstrem
Turunan adalah konsep fundamental dalam kalkulus yang mengukur laju perubahan sesaat dari suatu fungsi. Di kelas XI IPS, aplikasi turunan seringkali dikaitkan dengan optimasi, seperti mencari nilai maksimum atau minimum dalam konteks ekonomi (misalnya, memaksimalkan keuntungan, meminimalkan biaya).
Contoh Soal 6 (Mencari Nilai Maksimum Keuntungan):
Sebuah perusahaan memproduksi $x$ unit barang. Biaya produksi per unit adalah Rp 10.000 dan harga jual per unit adalah Rp 30.000. Jika biaya tetap perusahaan adalah Rp 5.000.000, tentukan:
a. Fungsi keuntungan perusahaan.
b. Jumlah unit barang yang harus diproduksi agar keuntungan maksimum.
c. Keuntungan maksimum yang dapat dicapai.
Pembahasan Soal 6:
Langkah pertama adalah mendefinisikan fungsi-fungsi yang relevan: Biaya Total (TC), Pendapatan Total (TR), dan Keuntungan (π).
a. Fungsi Keuntungan Perusahaan
Pendapatan Total (TR) = Harga Jual per Unit $times$ Jumlah Unit
$TR(x) = 30.000x$
Biaya Total (TC) = Biaya Variabel per Unit $times$ Jumlah Unit + Biaya Tetap
Biaya Variabel per Unit = Harga Jual per Unit – Keuntungan per Unit (jika diasumsikan harga jual sudah mencakup biaya produksi variabel dan sedikit margin)
Atau, jika diasumsikan biaya produksi per unit Rp 10.000 adalah biaya variabel per unit:
$TC(x) = 10.000x + 5.000.000$
Keuntungan (π) = Pendapatan Total (TR) – Biaya Total (TC)
$pi(x) = TR(x) – TC(x)$
$pi(x) = 30.000x – (10.000x + 5.000.000)$
$pi(x) = 30.000x – 10.000x – 5.000.000$
$pi(x) = 20.000x – 5.000.000$
Jadi, fungsi keuntungan perusahaan adalah $pi(x) = 20.000x – 5.000.000$.
Catatan: Dalam soal ini, fungsi keuntungan terlihat linear, yang berarti tidak ada nilai maksimum kecuali jumlah unit produksi tidak terbatas. Mari kita asumsikan ada faktor lain yang membatasi atau membuat fungsi keuntungan menjadi kuadratik untuk demonstrasi aplikasi turunan yang lebih relevan untuk mencari nilai ekstrem.
Mari kita modifikasi soal agar lebih sesuai untuk aplikasi turunan:
Contoh Soal 6 (Revisi untuk Aplikasi Turunan):
Sebuah perusahaan memproduksi $x$ unit barang. Fungsi biaya total (dalam ribuan rupiah) dinyatakan oleh $TC(x) = x^2 + 10x + 50$, dan fungsi permintaan (harga jual per unit) adalah $P(x) = -x + 60$ (dalam ribuan rupiah).
Tentukan:
a. Fungsi Pendapatan Total (TR).
b. Fungsi Keuntungan (π).
c. Jumlah unit yang harus diproduksi agar keuntungan maksimum.
d. Keuntungan maksimum yang dapat dicapai.
Pembahasan Soal 6 (Revisi):
a. Fungsi Pendapatan Total (TR)
Pendapatan Total (TR) = Harga Jual per Unit $times$ Jumlah Unit
$TR(x) = P(x) times x$
$TR(x) = (-x + 60) times x$
$TR(x) = -x^2 + 60x$
b. Fungsi Keuntungan (π)
Keuntungan (π) = Pendapatan Total (TR) – Biaya Total (TC)
$pi(x) = TR(x) – TC(x)$
$pi(x) = (-x^2 + 60x) – (x^2 + 10x + 50)$
$pi(x) = -x^2 + 60x – x^2 – 10x – 50$
$pi(x) = -2x^2 + 50x – 50$
c. Jumlah Unit yang Harus Diproduksi agar Keuntungan Maksimum
Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi keuntungan $pi(x)$, kita gunakan turunan pertama. Titik maksimum atau minimum terjadi ketika turunan pertama sama dengan nol.
Turunan pertama dari $pi(x)$ terhadap $x$:
$pi'(x) = fracddx(-2x^2 + 50x – 50)$
$pi'(x) = -4x + 50$
Atur $pi'(x) = 0$ untuk mencari titik kritis:
$-4x + 50 = 0$
$-4x = -50$
$x = frac-50-4$
$x = 12.5$
Untuk memastikan ini adalah titik maksimum, kita bisa menggunakan turunan kedua.
Turunan kedua dari $pi(x)$:
$pi”(x) = fracddx(-4x + 50)$
$pi”(x) = -4$
Karena $pi”(x) = -4 < 0$, maka titik $x = 12.5$ adalah titik maksimum.
Karena unit barang tidak bisa setengah, maka kita bisa mempertimbangkan untuk memproduksi 12 atau 13 unit. Namun, dalam konteks matematika, kita gunakan nilai eksak 12.5. Jika diminta dalam bentuk bilangan bulat, biasanya akan ada instruksi tambahan atau dibulatkan. Dalam banyak kasus ekonomi, kita bisa memiliki nilai yang tidak bulat jika unit tersebut dapat dibagi (misalnya, liter, kilogram).
Jadi, jumlah unit yang harus diproduksi agar keuntungan maksimum adalah 12.5 unit.
d. Keuntungan Maksimum yang Dapat Dicapai
Substitusikan $x = 12.5$ ke dalam fungsi keuntungan $pi(x)$:
$pi(12.5) = -2(12.5)^2 + 50(12.5) – 50$
$pi(12.5) = -2(156.25) + 625 – 50$
$pi(12.5) = -312.5 + 625 – 50$
$pi(12.5) = 312.5 – 50$
$pi(12.5) = 262.5$
Karena satuan keuntungan adalah ribuan rupiah, maka keuntungan maksimumnya adalah $262.5 times 1000 = Rp 262.500$.
Jadi, keuntungan maksimum yang dapat dicapai adalah Rp 262.500.
Penutup
Menguasai materi Statistika, Peluang, dan Aplikasi Turunan di kelas XI IPS semester 2 merupakan investasi berharga untuk pemahaman lebih lanjut, baik dalam konteks akademis maupun aplikatif di dunia nyata. Dengan berlatih berbagai contoh soal dan memahami setiap langkah penyelesaiannya, diharapkan siswa dapat membangun kepercayaan diri dan meraih hasil terbaik dalam pembelajaran matematika. Teruslah berlatih, jangan ragu bertanya, dan jadikan matematika sebagai alat untuk memahami dunia di sekitar kita!
Tinggalkan Balasan